Résoudre une équation de degré 4 dans C - Corrigé

Énoncé

1. Montrer que, pour tout $z\in \mathbb{C},$ $$  
$z^4-10z^3+38z^2-90z+261=0⟺(z^2+9)(z^2-10z+29)=0.$

2. En utilisant la question précédente, résoudre l'équation  $z^4-10z^3+38z^2-90z+261=0$   dans $\mathbb{C}.$

3. Déterminer la valeur du produit, puis celle de la somme, des quatre solutions obtenues.

Solution

1. On développe :  $(z^2+9)(z^2-10z+29)$ .

2.  $S=\{3i;-3i;5-2i;5+2i\}$ .

3. La somme des quatre solutions vaut $10$ , le produit vaut $261$ .